несториана/nestoriana

древнерусские и др. новости от Андрея Чернова

Андрей Чернов. ИЗ ЗАМЕТОК О ВЕЧНОМ: АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ АЛГОРИТМ РЯДА ФИБОНАЧЧИ И ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ √2 И ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Непостижимые (потому как несоизмеримы с единицей) √2 и √5 стали для ранней античной философии бесплотным подобием Прометеева орла и привели к первому кризису античной философии. См. об этом в главе «За что погиб Гиппас из Метапонта»

http://chernov-trezin.narod.ru/ZS_1_0_3.htm

Ставка на рациональность и целочисленные отношения оказалась тупиком, и в конце этого тупика зияла алчная пасть нового Минотавра – всепроникающей иррациональности, а, значит, и – хаоса.

Религиозным и художественным выходом из этого кризиса стало строительство Парфенона. Греки просто-напросто обожествили корень из двойки и пятерки, в чем можно убедиться, взглянув на геометрическую интерпретацию Н. М. Введенской (в главе «Как проектировали Парфенон»):

http://chernov-trezin.narod.ru/Parfenon-2.htm

Попытки преодоления мыслительного предела, поставленного, казалось бы, перед человеческим разумом волей самих богов, продолжались (и продолжаются до сих пор). Английский философ и математик Бертран Рассел в своей «Истории Западной философии» (глава 24) пишет об античной математике:

«√2 – первое из открытых иррациональных чисел – был известен ранним пифагорейцам, и были изобретены остроумные методы приближения к его значению. Наилучшим было следующее: образуйте два столбца чисел, которые мы будем называть a и b; каждый столбец начинается с единицы. Каждое последующее a на каждой стадии образуется путем сложения уже полученных последних а и b. Последующее b образуется путем прибавления удвоенного предыдущего а к предыдущему b. Так получаются первые 6 пар (1, 1), (2, 3), (5, 7), (12, 17), (29, 41), (70, 99). Для каждой пары выражение 2а2 – b2 будет 1 или –1. <…> К примеру, читатель может удовлетвориться тем, что (99/70)2 почти равняется 2».

Итак, в пределе отношение n / a n  равно √2.

В математической записи, которую читатель-гуманитарий волен пропустить, это будет выглядеть так:

Если

n = a n – 1 + b n – 1

n = 2a – 1 + b n – 1

то при исходных a1 = b= 1

n : a n → √2.

Алгоритм Рассела, или «Пифагорейский алгоритм» (название условное, поскольку сами пифагорейцы вряд ли о нем знали ) красив сам по себе. Но прошу читателя-гуманитария набраться терпения, поскольку мы уже стоим на том пороге, не пройдя который нельзя понять связь между корнями из двойки, золотым сечением и математической сутью эволюционного механизма, который должен начинаться с некоей единицы и путем ее самосложенья (ибо ничего иного не дано) в конечном счете приводить к многообразию природных форм.

Перед нами один из вариантов эволюционной формулы теза – антитеза – синтез, по которой устроен и ряд Фибоначчи. (Подробнее о см. в предыдущей главе: http://chernov-trezin.narod.ru/ZS_1_1.htm)

Однако в Пифагорейском алгоритме каждое следующее a есть сумма предыдущих a и b, а каждое следующее b есть результат сложения удвоенного (то есть доминантногоa предыдущей строки с b предыдущей строки.

По этому «пифагорейскому» способу составим таблицу для первых двенадцати значений a и b.

Убедимся в том, что в пределе отношение n / a n и впрямь приближается к корню из двойки:

a n n
a 1 = 1 b 1  = 1
a 2 = 2 2 = 3
a 3 = 5 3 = 7
a 4 = 12 4 = 17
a 5 = 29 5 = 41
a 6 = 70 6 = 99
a 7 = 169 7 = 239
a 8 = 408 8 = 577
a 9 = 985 9 = 1393
a 10 = 2378 10 = 3363

Отношение  12 / a 12 = 1,41421362… (при √2 = 1,41421356…)

Как указал мне В. Белянин, «многократно замечено сначала двумя индийскими математиками в VII и XII веках, а затем в Европе Ферма, Валлисом и другими…» (пламенный привет от автора этих заметок всем изобретателям велосипедов!), что если в алгоритме Рассела вместо коэффициента 2 взять 3, то формула примет вид

n = a n – 1 + b n – 1

n = 3a n – 1 + b n – 1

и тогда мы получим приближение к √3.

А если коэффициентом будет семерка, то формула даст приближение к √7.

Словом, какой коэффициент, такой и корень.

Интересно также посмотреть, что же будет, если мы сместим коэффициент во второй строке формулы и вместо

n = 2a n – 1 + b n – 1

запишем

bn = a n –1 + 2b n – 1

Оказывается, именно так мы и получим… алгоритм ряда Фибоначчи:

Пусть

n = a n – 1 + b n – 1

n = a n – 1 + 2b n – 1

При a 1 = 1 и b = 1

в пределе b : a n и a : b n –1 →  (√5 + 1) : 2 = 1,618…

a n n
a 1 = 1 1 =1
a 2 = 2 2 = 3
a 3 = 5 3 = 8
a 4 = 13 4 = 21

Можно предположить, что сходство алгоритма Рассела для приближения к √2 и нашей формулы ряда Фибоначчи говорит о двух равноправных ветвях эволюционного развития той Вселенной, внутри которой мы существуем. И механизм эволюции предельно прост: в обоих случаях мы получали a n и n при помощи простого сложения нечетного и четного с непременным удвоением одного из членов. В первом варианте a = 1b = 1 и доминантным становился нечетный член ряда (и потому он удваивался), а во втором a = 1; b = 1 и доминантным становится четный член ряда.

Один ряд приближает нас к √2, а другой к золотому сечению. И это свидетельствует о том, сколь фундаментально связаны между собой гармонические константы Ф и √2.

Обобщим оба математических ряда, дающих приближение к √2 и к золотому сечению в одной формуле (для положительных значений обоих рядов):

ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АЛГОРИТМ ЭВОЛЮЦИОННОГО ПРОЦЕССА:

В ряду a 1; b 1; a 2; b <…> a n; b n

при условии, что

1 = b = 1

n = a n – 1 + b n – 1

n = xa n – 1 + yb n – 1

– если x = 2, а y = 1, то в пределе b : a n  → √2

– если x = 1, а y = 2, то в пределе b : a n и a n  : b n–1 →  (√5 + 1) : 2 = Ф

То есть результат зависит от коэффициента доминантности – двойки. Если при эволюционном синтезе удваивается теза (а, нечетный член ряда), то в отношениях смежных чисел получаем приближение к √2, если антитеза (четное b), – то золотое сечение.

Элементарный алгоритм эволюционного процесса показывает, что диалектическая триада Шеллинга/Гегеля описывает лишь начальный этап эволюционной цепочки и первичный синтез – результат сложения тезы и антитезы:

2 = a + b 1

Но чтобы получить звено b 2, надо вернуться к и b 1 и удвоить одно из этих выражений, то есть сделать доминантным или 1, или b 1. В первом случае предел пропорции смежных членов стремится к √2, во втором к золотой пропорции.

При этом в обоих вариантах алгоритма числовые значения а и совпадают на протяжении пяти звеньев (вплоть до a 3 = 5).

Подытожим: мы показали эволюционную связь двух математических констант – квадратного корня из двойки и золотого сечения.

Открытие пост-пифагорейцев (к сожалению, Рассел не указывает, кому оно принадлежит) – не математический фокус и не просто «красивый алгоритм». Это один из двух вариантов элементарной ячейки эволюционного процесса, а, значит, и доказательство эволюционного развития нашей вселенной.

2007–2009

Глава из книги «Ключи от Парфенона. Мера – Пропорция – Знак».
Книжка здесь:
http://chernov-trezin.narod.ru/ZS.htm

 

Реклама

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход /  Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход /  Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход /  Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход /  Изменить )

Connecting to %s

Информация

This entry was posted on 29.05.2018 by in Метрология, Сухая игла.

Навигация

Рубрики

%d такие блоггеры, как: